Epidemias - Simular para compreender

Para o Dia Internacional da Matemática (DIM) preparámos uma actividade sobre modelos matemáticos de epidemias. Isto é, como podemos usar a matemática para percebermos melhor como se propaga uma doença infecciosa numa população, quais os parâmetros que controlam o progresso dessa epidemia, para depois fazer projecções e avaliar possíveis medidas de controlo e os seu efeitos.


Parte I - Introdução ao tema

 

Cólera, contas e constantes

Palestra por Paulo Doutor, FCT NOVA

 


Parte II - Simulador online de epidemias

Percebido melhor qual pode ser o papel da matemática no estudo das propagação de doenças, apresentamos uma ferramenta computacional com a qual se podem gerar epidemias para diferentes cenários.

Este simulador é a implementação de um modelo SIR com mortalidade por doença (Suscetível – Infetado - Recuperado). Neste caso a transmissão e a mortalidade são acontecimentos estocásticos, ou seja dependem de uma certa probabilidade. Dizemos assim que este é um modelo estocástico ou probabilístico

 

Simulador de Epidemias

 

Recolha de dados de simulação 💻 

 


Parte III - Apresentação detalhada do simulador

 

Apresentamos uma descrição mais detalhada com algumas propostas para continuação de experiências no simulador em autonomia.

Neste simulador, os indivíduos estão representados num retângulo por uma célula, cada indivíduo é cercado por 8 vizinhos. Usamos um código de cores para distinguir os diferentes estados dos indivíduos: células verdes representam indivíduos suscetíveis, células vermelhas representam indivíduos infetados e infeciosos, as células azuis representam indivíduos já recuperados e imunes e as células pretas representam indivíduos que morreram.

A simulação é controlada por QUATRO parâmetros:

  • P -  define a probabilidade de infeção para cada iteração, i.e. dos 8 possíveis vizinhos quantos serão infetados em cada iteração;
  • Infected period -  define durante quantas iterações o individuo infetado, vermelho, pode infetar os seus vizinhos;
  • Population immunity -  define quantas pessoas imunes existem na população no início da simulação, por vacinação ou decorrente de uma epidemia anterior;
  • Mortality -  corresponde à probabilidade de morte causada pela doença.

Podem alterar-se os valores dos parâmetros. Para começar cada nova simulação clicar na tecla start.

Deve alterar-se um parâmetro de cada vez para melhor compreender o efeito das alterações. Como o simulador é estocástico deve fazer-se várias simulações para o mesmo conjunto de parâmetros para ter a certeza de que o que se está a observar não é apenas um evento raro! 

Quando a simulação começa, os indivíduos suscetíveis  são infetados aleatoriamente e as células ficam vermelhas. Para cada iteração, uma nova infeção pode ocorrer dentro dos 8 vizinhos, com probabilidade P de infetar algum deles. Por exemplo, se P = 50%, em média cada indivíduo infetará 4 vizinhos por iteração, mas pode acontecer uma vez infetar 1 e outra infetar os 8!

Os indivíduos são infecciosos durante o Infected period e quando recuperam  ficam imunes. É também considerada a possibilidade de morrer de acordo com uma certa probabilidade a cada iteração (fixada com o parâmetro Mortality).

No lado direito, vemos a série temporal para  suscetíveis, infetados, recuperados / mortos, resultante da simulação. Atenção porque no gráfico a escala dos infetados não é comparável com as restantes (teríamos dificuldade em vê-la, se fosse o caso). Em alternativa, para se avaliar e comparar o tamanho de  epidemias de diferentes simulações verifique para quantos suscetíveis sobraram no fim da epidemia.

Como o modelo é estocástico simulações usando os mesmos parâmetros podem dar origem a diferentes séries temporais. Para compreender qual é o comportamento médio para uma certa escolha de parâmetros teríamos de fazer um número elevado de simulações e estudar o comportamento médio dessas simulações (não disponível).

Com este simulador queremos explorar os seguintes aspetos:

  • Quais os fatores que determinam a transmissão de uma doença numa população?
  • Como a duração da doença e os contactos influenciam a percurso  e resultado final da epidemia?
  • Qual o papel dos indivíduos recuperados?
  • Haverá sempre uma epidemia?
  • Ficarão todos os indivíduos susceptíveis infetados no fim da epidemia?
  • Porque termina a epidemia?
VAMOS TESTAR!
 

 

Vivemos neste momento uma pandemia de Covid-19.

Os modelos matemáticos podem ajudar a compreender melhor o que se passa e a avaliar  diferentes medidas de controlo a implementar para ajudar a controlar a  epidemia. Há muito tempo que se usam modelos matemáticos, como o que estamos a simular aqui, para estudar a transmissão de doenças infecciosas.

Vamos ver como é que este simulador nos pode ajudar a perceber qual a importância do nosso comportamento no controlo da transmissão. 

 

O que significa diminuir os nossos contactos ? – diminuir os contactos corresponde no simulador a considerar que temos menos vizinhos. Vamos considerar por exemplo que apenas contacto com 4 dos 8 dos meus vizinhos (não contacto com as células nos vértices), pressionando na tecla ‘Social distancing’

O que se observa?
 

 

O que significa usar máscara? – usar máscara corresponde no simulador a diminuir a probabilidade de que quando em contacto com uma célula vizinha infetada este contacto resulte numa nova infeção - diminua o valor do parametro P.

O que se observa?
 

 

 Podemos considerar estes efeitos em separado mas também conjugados. O que terá ainda melhores resultados?



O que acontece quando estiver disponível uma vacina?

Introduzir uma vacina na população significa no simulador alterar a fracção de células que começa imune -  altere a imunidade da população aumentando o parâmetro  Population Immunity

VAMOS TESTAR!
 

Nota que este simulador apenas representa o que acontece num pequeno período de tempo em que não há perda de imunidade conferida pela doença ou por vacinação.

 


Paula Patrício, CMA & DM FCT NOVA

Paulo Doutor, CMA & DM FCT NOVA

Francisco Patrício Rodrigues, IST  [simulador]